ガロアへの案内

分かりにくい点もあるかと思いますが、ご容赦を。

群Ｇ１から群Ｇ２への準同型写像ｆに対して

Ｎ＝(ｆ－１)（e2)＝｛ｘ｜ｘ∈Ｇ１、ｆ（ｘ）＝e2}

はＧ１の正規部分群である。なぜならｘ、ｙ∈Ｎならば

ｆ（ｘｙ）＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ）＝e2e2 より

ｘｙ∈Ｎとなり、ｆ（e1)＝e2　より　e1 ∈Ｎとなり

ｆ（ｘ－１）＝ｆ（ｘ）－１＝e2-1 ＝e2　

　　よりｘ－１∈Ｎ

だからＮは部分群である。

またＧ１の元aとｘ∈Ｎに対して

　　ｆ（axa-1)＝ｆ（a)f(x)f(a-1)＝ｆ（a)e2f(a)-1

＝e2

となるので axa-1∈Ｎとなる。よってax∈Ｎａとなり

　　aＮ⊂Ｎaとなる。

同様に、aＮ⊃Ｎa が言えるのでaＮ＝Ｎaとなるので

ＮはＧ１の正規部分群となる。

上の内容はすでに述べたことかもしれないが、復習と
してください。

剰余類の補足説明です。

Ｇ＝Ｚ、Ｎ＝ｍＺ（ｍは自然数）のとき、剰余類の
集合は
　　　　　｛Ｎ、１＋Ｎ、２＋Ｎ、、、
　　　　　　　、、、（ｍ－１＋Ｎ｝　　となり

ｍ個の元よりなる集合となる。

剰余類の集合が群になる証明はまたいずれ
ということで。

Ｚは整数全体の集合です。

整数全体の集合をＺとする。

Ｚは加法群である。Ｚのなかで偶数全体は部分群である。
一般に
　　　　ｍＺ＝｛ｍｘ｜ｘ∈Ｚ｝

はＺの部分群である。ｍが２のときが偶数全体の集合
となります。

群Ｇと部分群Ｈがあるとき、ａ∈Ｇに対して

　　　　aＨ＝｛aｈ｜ｈ∈Ｈ｝をＨの

左剰余類（left coset)と言います。右からのＨaは
右剰余類と言います。

Ｇ＝Ｚとし、Ｎ＝ｍＺ（ｍは自然数）とする。
このとき、剰余類の集合は群になる。この集合の元は
ｍである。

詳細は略します。この群を剰余群といい、商群Ｇ/Ｎ
と表します。

上の記述はすでに記事にしたかもしれません。でも
一応復習とでも思って下さい。

対称群Ｓｎの任意の置換は互換の積として表せます。

そこで偶数個の互換の積として表せる置換を偶置換、
奇数個の互換の積として表せる置換を奇置換といいます。

そこで対称群Ｓｎの中から任意の２つの偶置換κ、τを
とるときその積はまた偶置換となります。

またτ－１も偶置換となります。

これらから対称群Ｓｎの中で偶置換全体のつくる
部分群をＡｎと表し、Ａｎをｎ次の交代群といいます。

また対称群Ｓｎの中に偶置換と奇置換は同じ個数だけあり
対称群の個数はｎ！だから交代群の位数はその半分の
ｎ！/２となります。

また任意の置換は互換の積として表せられて、置換
ごとに偶置換か奇置換になるかは一意的となります。
これは差積を考えることにより証明されますが
ここでは触れません。

簡単そうですが難しいですね。

暗号についてはもう少し書きたいけれ、すこし
内容をもとに戻します。

既出かもしれませんが、準同型写像の核と像の
おさらいをします。

群ＧからＧ`への準同型写像φにたいして
φの核Ｋｅｒφとφの像Ｉｍφを定義できる。

Ｋｅｒφ＝｛ｇ｜φ（ｇ）＝e‘｝、
Ｉｍφ＝｛ｇ`｜ｇ`＝φ（ｇ）とおく。

Ｋｅｒφ、Ｉｍφはそれぞれ群Ｇ、Ｇ`の部分群
となる。

Ｋｅｒφで示せば、ｇ、ｈ　∈　Ｋｅｒφなら
φ（ｇｈ）＝φ（ｇ）φ（ｈ）＝e`e`=e`

またｇ∈Ｋｅｒφ　ならばφ（ｇ－１）＝
φ（ｇ）－１＝e`-1＝e`

よってｇ－１∈Ｋｅｒφ

e∈Ｋｅｒφ

だからＫｅｒφはＧの部分集合で、群の構造を
もっている。

また重要なことは群ｇ＝Ｋｅｒφは正規部分群
になっていることである。その説明は略します。

最近記事に載せているＲＳＡ暗号方式は１９７８年に米国のＭＩＴにいたリベスト、シャミア、エーデルマンが発明したものです。これが現在もっとも一般的に使われている公開鍵暗号方式です。

この暗号方式以外にも、いくつか公開暗号鍵方式が提案されています。エルガマール暗号方式、ラビン暗号方式などで、いずれも発明者の名前がついています。公開鍵方式でなく、鍵を送信者・受信者がともに持つ従来型の暗号方式もよく使われているそうです。

ただしインターネットなどのばあいにはＲＳＡ暗号方式が一般的らしいです。

前回まででＲＳＡ暗号化の方法を記したので
今回は暗号の復号化の仕方を書きます。

復号鍵ｄが分かっているとして
復号の関数をＲＳＡ＾（－１）を示すと次のようになります。

すなわち暗号文Ｃに対して（Ｃ＾ｄ）mod Ｎ
を計算すれば、もとのＭに戻ります。
ここでいうＣは暗号化の際のブロックだと考えます。

以上がＲＳＡ暗号の復号関数です。

なぜこのやり方で暗号・復号ができるのか
はまたいずれということで。

代数学、とりわけ数論の定理が重要な
働きをすると思います。

暗号化する原文の説明です。
まず、平文で文書を書きます。英語での例を述べると
Ａ＝１０、Ｂ＝１１、Ｃ＝１２、・・・・という具合に
一文字ずつコードとして考えます。
空白とかコンマ等もコード化します。

そこで暗号化する文章を連続してコード化
してずらーとならべて、それを数値とみなし
ます。つまり１０文字のばあい２０桁の数値と
みなします。現実にはもっと
ずっと長いはずなので、たとえば数値を
ワンブロック１００桁の数値ごとに分けると
します。でこれが暗号の原文になります。

で、これをブロック毎に暗号化するわけです。
日本語の文章なども、同じく考えれば
よいのではないでしょうか。

以上です。

前回に（e,N)が決まったので、これから
復号鍵が決まります。

Ｌとeに対して、次の方程式を解きます。

１＝Ｌc＋ed

この式で、ｃとｄは簡単に求められます。
ここでの、ｃとｄのうちｄが復号鍵です。

では、戻って暗号化をどのようにしているか
みてみます。

原文Ｍに対して
　　　　ＲＳＡeN(Ｍ）＝Ｍ＾e mod N

が暗号文になります。

ここでＭは仮に１００桁ですからeも同じ
ぐらいとして

Ｍ＾eはすごく大きな数になります。どう
やってこんな計算ができるのか、ちょっと
疑問です。

次回は復号について述べます。

代数学の応用としてここでは暗号理論をアップしてみます。何回かに分けて書きます。詳細は略しますが、公開鍵暗号方式の一種のＲＳＡ暗号方式についてです。

まず、暗号鍵と復号鍵の選び方、暗号化関数の定義、復合鍵による復号化関数の計算方法を考えなければなりません。まず暗号鍵を選びます。そのために２つの素数ｐ、ｑと適当な数ｅを選びます。もとの文章を１００桁のブロック毎に暗号化するとします。そこで素数ｐ、ｑは５１桁のものをランダムに選びます。どうやってこんな大きな素数を求められるのか少し不明ですが。

そしてｐ・ｑをＮとし、ｐ－１とｑ－１の最小公倍数をＬとします。ここでｅはＬと互いに素な数を適当に選びます。ここではｅはＮ以下としておきます。

ここで出てきたｅとＮが暗号鍵で、この組（ｅ、Ｎ）が公開されます。続く。

シロ―の定理の続きです。

③　Ｐ１、Ｐ２を２つのpシロ―部分群と
　　すると、群Ｇのある元ｇがあって

　　Ｐ２＝ｇ-1P1gとなる。

④　ｐシロ―部分群の個数は、Ｇの位数
　　の約数で、ｐで割ると１余る。

なんだかむずかしいですね。
この証明は略します。

どなたか調べてみられると良いでしょう。

また話が戻ります。

位数ｎの有限群Ｇの構造を調べる有力な
定理がシロ―の定理といわれるものです。

ｎを素因数分解して、ｎ＝Πｐ＾（e(p))とした
とき、

①　Ｇの部分群で、位数がｐ＾（e（ｐ））の
　　　ものが必ず存在する。そのような
　　　部分群を、ｐシロ―部分群という。

②　位数がｐベキであるＧの部分群Ｈは、
　　　あるｐシロ―部分群に含まれる。

証明は略します。
まだこの項は続きます。

すこし前に戻ります。

a,bを整数（又は多項式）としたとき、
a,bの最大公約数（式）ｄ＝（a,b)は
適当な整数（又は多項式）u,vによって

d=au+bv

の形に表せる。
また、ax+by　の形の整数は、すべて
dの倍数である。

｛ax+by|x,y∈Ｚ｝＝｛kd|k∈Ｚ｝

証明は次回以降にのせます。

この辺はかなり基礎的なところです。

部分群の定義が分かったので、続きを書きます。


群Ｇの元aのべき全体からなるＧの部分集合
Ｈ＝｛a^k;k∈Ｚ｝はＧの部分群です。

（a^k)(a^h)-1=a^(k-h)=a^(k-h)∈Ｈだからです。
Ｈの位数を「aの位数」と言います。

Ｈの位数が有限のとき、aの位数はa^n=eと
なる最小の正整数ｎと一致します。

Ｈ＝{a,a^2,a^3,,,a^n=e}となります。

すこし分かりにくいかもしれません。

部分群の復習をします。

Ｈが群Ｇの部分群である必要十分条件は、
Ｈの任意の元の組（a,b)に対して

ａｂ－１がＨの元であること
である。

証明

単位元eが含まれることは、Ｈの任意の
元aに対してｂ＝aとすれば、
aa-1=e∈Ｈより分かります。

逆元についてはa=eとすれば
eb-1=b-1∈Ｈで分かります。

またa,bがＨの元であれば、b-1∈Ｈ
だから、ab=a((b-1)-1)∈Ｈで
積で閉じている。
結合律はＧの中で成立しているので
Ｈでも成立している。

以上
すこし分かりにくい説明です。

前にも、この項は書いたので、補足します。

群Ｇの部分群ＨがＧの任意の元ｇにに対し、集合としてｇＨ＝Ｈｇの
関係を満たす時、ＨをＧの「正規部分群」と言います。

Ｇが可換群のときは、すべての部分群は正規です。

注意すべきは上の定義がｇｈ＝ｈｇ（ｈ∈Ｈ）ではなく
ah=hbとなる、a,bがＨの元の中にあることを意味していることです。

また上の定義は　ｇＨｇ－１⊂Ｈ　、∀ｇ∈Ｇと同等です。

まだ先があるのですが省略します。

ある体Ｋがあるとします。

ＫからＫへ１対１の対応があり、四則計算で閉じているとき
この写像を自己同型と言います。ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）
などが成立するときです。

すでに書いたかもしれません。悪しからず願います。

有理数の拡大体Ｑ(√２）の自己同型は２種類あります。

恒等写像と√２の符号を変える写像で、後者を共役写像と
言います。

図で例示すれば２等辺三角形を左右対称に裏返しする
ものです。この写像を２回連続すると元に戻ります。

共役写像という言葉はいろんなところで出てきますので
注意してください。

２つの群Ｇ１、Ｇ２があるとき、Ｇ１からＧ２への写像φがあるとする。

Ｇ１からＧ２への写像はｎ対１であるとする。Ｇ１からＧ２の上への
写像である。

このときＧ１とＧ２は準同型であるといい、
写像φを準同型写像という。

また群Ｇ２の単位元への写像をするＧ１の元の集合をＨとする。
このときＨはＧ１の部分群となる。

証明は省略します。
準同型写像については過去に述べたかもしれません。

前記イデアルから離れます。群の話に戻りま
す。

正三角形の頂点を回転や折り返して自分自身に
重ね合わせる作用は全部で６種類あります。
この作用の乗法を調べると全部で３６有ること
がわかります。乗積表を調べると小さな群が
内部にあることがわかります。

６個の元からなる部分集合は２^６個あるが
部分群になるのは５個しかなく、もとの全体
を含めると６個あり、それらの
位数をみると、１、２，２，２、３，６と
なっている。これらはもとの位数の約数とな
っている。

上のことからある群の部分群の位数はもとの
群の位数の約数になるのではないかと類推で
きる。

実際にそうなるのだが、その証明は後記とし
ます。

Aを加群とするとき、Aの部分集合Iが部分加群であるならば、それをイデアルという。加群Aの構造により左、右または両側イデアルと呼ぶ。
Iを左イデアルとしたとき、関係a～bをaーb∈I　と定義すれば、AのIによる分類をＡ/ I とかく。各分類（同値類）は

a＋I＝｛a＋ｘ；　ｘ　∈　I　｝と書ける。

同値類の定義が難しいですね。

再度イデアルの定義をします。

Aを環とする。部分集合　I　が次の条件をみたす
とき、Aのイデアルという。

①　I　はAの加法に関して部分群である。
②　任意のAのもとaと、I　の元　X　にたいして
　　　その積aｘがI　に属す。

すでに環について書いたが追記します。
環とは加法と乗法という２種類の２項演算
をもち、加法については零元と逆元の存在
を仮定する。乗法については単位元はある
とする。
体は環であり零元以外の元に逆元があるも
のである。

いまＡを環とし、Ｍを自分自身には加法の
みをもち、零元と逆元があるとする。Ｍに
加減が自由に行えるときこのＭを加群とい
う。

とくにＡ加群とはＡがＭに作用（積とする）
したとき、

Ａ×Ｍ　→　Ｍ
で
(ab)m = a(bm)
(a+b) = am + bm
a(m1+m2) = am1 + am2

が成立するときである。
正確にいえば、左からＡをかけたので
左「Ａ」加群であるが、右からかける場合
は省略します。

１の原始ｎ乗根ζのＱ上の最小多項式を
円分多項式といいます。

Ｆｎ（ｘ）＝Π（ｘ－η）
ここでηは１の原始ｎ乗根。

ζは方程式ｘ＾ｐ－１＝０の根である。

ｎを自然数とすれば、

ｘ＾ｎ－１＝ΠＦｄ（ｘ）
　　　　　ｄはｎの約数で、１以上ｎ以下
の自然数とする。

Ｆｎ（ｘ）を求めるとき上のことを
使うと便利である。

円分体


１の原始ｎ乗根ζｎを有理数体Ｑに添加してできる
体Ｑ（ζ）を円分体といいます。この円分体は
円分多項式Ｆｎ（ｘ）の最小多項式である。
またこの円分体は、方程式
　ｘ＾n-1　＋ｘ＾n-2　＋・・・・＋１＝０の
最小分解体でもあります。

ちょっと内容がバックしております。

体Ｌが体Ｋの分離かつ正規拡大であるとき、
ＬをＫのガロア拡大（ガロア拡大体）という。

またＬとＫの間にＬの部分体でＫの拡大体
Ｍがあるとき、ＬはＭのガロア拡大である。

分離とか正規拡大については以前書いたが
その意味は理解するのが難しい。

もう少し分かりやすい記述ができないか
考えてみます。

ガロア拡大で、定義に現れる分離的とはなにか。

ｋを任意の体とする。ｋ上の多項式をｆ（ｘ）と
するとき、ｆが重根を持つとき非分離的といい
重根を持たないとき分離的という。ここで、
ｆは既約多項式とする。

既約という言葉からは、すぐには納得できない
定義ですね！。

ガロア拡大の定義に出てくる正規拡大
について書きます。

Ｅ/Ｆを代数的拡大とします。Ｆ[Ｘ]の
既約多項式がＥのなかに１根でも持てば
Ｅ[Ｘ]で１次式の積に分解するとき、
Ｅ/Ｆを正規拡大と言います。

拡大にも複数の定義がありますね。
縮小というものは無いんでしょうかねぇ。

Ｆはドイツ語で体の頭文字というので慣習的に
Ｅ/Fで使われるそうです。

部分群というものが重要な働きをするみたい
ですが、なかなかそこまで一気には・・・。

二つの体があるとき。Ｌ１とＬ２とします。写像Φ：Ｌ１→Ｌ２が
次の条件を満たすとき、Ｌ１からＬ２の中への同型といいます。

Ｌ１の任意の２つの元α、βに対して
　　　　　φ（α＋β）＝φ（α）＋φ（β）
　　　　　φ（αβ）＝φ(α）φ（β）
が成り立つ。

　　　　　また体の単位元を１とするとき
　　　　　φ（１）＝１
が成り立つ。

また、Ｌ１とＬ２が共通の部分体Ｋをを持ち
中への同型写像φが次の条件
　　　　　任意のa∈Ｋに対して
　　　　　φ（a）＝a
を満たすとき、φをＫ上の中への同型写像
と言います。

ここで、Ｌ１とＬ２が同じ体のときφが一対一の
写像であれば、φをＬのＫ上の自己同型と
いいます。

また、すべてのφの集合をＡut k（Ｌ）と書きます。

ガロア群は、ここでの定義と同じとも言えます。
先にこれを書くべきでした。

Ｄ∈Ｑ、√ＤはＱに属さないとき、ｘ＾２ーＤの
Ｑ上のガロア群を求めてみる。ｘ＾２ーＤの
分解体はＬ＝Ｑ（√Ｄ）である。ガロア群φの
φ（√Ｄ）を求めてみる。

０＝φ（０）＝φ（（√Ｄ）＾２ーＤ）＝φ（（√Ｄ）＾２）ーφ（Ｄ）
＝φ（√Ｄ）＾２ーＤ

だからφ（√Ｄ）はｘ＾２ーＤの根である。
したがって、φ（√Ｄ）＝±√Ｄである。

Ｌの元はa+b√D,a,b∈Ｑ と書けるので
φ（√Ｄ）＝√Ｄであればφ（a+b√Ｄ）
＝a+bφ（√Ｄ）＝a+b√Ｄとなり、φは恒等
写像である。

φ（√Ｄ）＝ー√Ｄであればφ（a+b√Ｄ）
＝aーｂ√Ｄとなる。

よってガロア群Ｇｆ＝｛id、φ｝であり
位数２の群である。ここでidは恒等写像、
φはφ（a+b√Ｄ）＝aーｂ√Ｄの写像である。

ガロア群がどのようなものか、少しだけ
分かってきたでしょうか。

体Ｋの元を係数とするｎ次多項式の根a1,a2,・・・an
をＫに添加した拡大体Ｌ＝Ｋ（a1,a2・・・・an）を
多項式ｆ（ｘ）の最小分解体または単に分解体と
いう。
またＬの体Ｋ上の自己同型の全体をＧａｌ（Ｌ/Ｋ）、
またはＧｆと記述し、多項式ｆ（ｘ）のガロア群と
いいます。

短い定義ですが分かりにくいですね。次回は
ガロア群の例をみてみます。

ラグランジュは代数方程式で根の置換による
方程式の性質を発見した。

以前ＵＰしたものがあると思うがあらためて
記述します。証明は別途改めて。

あるｎ次関数があるとき、変数（解の）を
置換したとき、元の関数と同じでないもの
はいくつあるか？。というのが問題。

ｎ変数の置換全体はｎ！ある。ここでＧを
もとの関数と同じになる変換の個数とすれば
もとの関数と違う関数の数は、

ｎ！/Ｇ　となる。

簡単そうで難しい定理ですね。