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企業の消長 [数学]

世の中には、多くの企業があります。

ひとりぐらいで始めた会社でも、わずか数十年で日本を代表するような

規模になる場合もあります。

しかし、多くの場合、優れたトッ プがひっぱったケースが多いのです。

シャープなどは、名門の企業でも経営者が判断を大きくあやまり、失墜しました。

大手といえども、決して安泰ではない。

ましてや、中小でも。

実力のない、トップはだめです。

私のおじさん [数学]

おじさんは、数学の先生ではありませんでしたが、ずいぶん長く教師をしていました。師範学校卒業しました。若い時はどうか知りませんが、教える内容をそらんじていました。字が綺麗で、昔の人は、皆そうなのかな、と思いました。子供は、一度なにか言うと、そのままいうとおりにしたそうです。非常に話ずきで、まあ職業がらかもしれませんが、何処へでも出るのが好きでしたね。ただ、晩年にあちこち患い、長生きしましたが、最後は会えずになくなわれらました。まあ、
いろいろなことを思いだします。


難波先生の思い出

大学時代に、難波先生に物性の講義を受けました。使われたテキストは、先生の大学の同期のかたが書かれたもので、売上に貢献していると自慢されていました。
先生の講義は、テキストに関しては、とつとつとして分かりにくく、学生はみな机にうつぶせになって寝ているものが多いかった。大学
ただし、先生は最近の半導体技術について色々教えていただき
、特に集積度や歩留まりを知りました。イオン注入の技術について
も興味深い話を聞けました。大学時代に、あれこれいろいろなアイデアを考えていたそうで、その後役にたったとか。
毎回の講義で、みんな寝ているので、中国の学生は熱心に聞いてくれるがね、とこぼされていました。


沖電気時代の思い出 [PLAYLOG]

私は、ほんの短い間しか在籍していなかったが、30数年前のLSI開発部の

部長で、たしか山本さんというかただったか、それともほかのかたが、将来は

半導体のメモリ―で、磁気テープ(いわゆるカセットテープみたいなもの)は

おきかわるだろうと言われていた。現在、たしかに半導体のSDとかステック

メモリーで大容量の音声・映像メディアが販売され、主流である。

SonyのWMも、初期のものからは現在、固体メモリーに置き換わっている。

民生用の製品としては、量産のできるこのタイプのメモリーが、企業の利益源

として有望と思われる。

DVDなどのディスク製品は、半導体ではないが、大容量の記憶媒体として

広く普及している。規格も落ち着いてきているようだ。

沖の半導体部門が、消えたのが残念です。

難波先生の思い出 [PLAYLOG]

私が、修士で就職するとき、教官主任だったのが難波先生です。

当時、お世話になりました。

非常に優れた研究者で、海外にもよく出張されていました。

教室でも、面白い話題を聞かせてもらいました。すごいアグレッシブな

先生でした。

中略

30歳の頃、知り合った会社の社長が、なぜか私に興味を持ってくれて

ゴルフはならいたて、とか、大学生とか、自分は何様なんだ?

と、聞きたい。プロのゴルファーとか、超一流の企業経営者ならともかく

人をこばかに、からかって、よくもまあいばっていられたものだ.

広島の田舎の出身らしく、まあ私も田舎だが、お金もちらしい。

まあ、みためは普通のぺこちゃんみたいな、細川たかしみたいな顔だが

現実は、犯罪者であろう。性質は、執拗で詐欺がうまい。悪知恵?にたけている。

そのひとの、ビジネスの実態はなぞのベールにつつまれているが

単独では、広範囲の勢力はない。が、。

非常に、よく人のことを調べるひとらしい。なぜか?。あまり、この人には接近しないほうがいい。


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閑話休題 [数学]

集積回路などのチップを作る時、回路のスケールが大きくなると、チップの中の素子数が膨大になります。現在では、1~2センチ角に100万以上の素子が格納されています。このような、膨大な数の場合、各素子が正しく動作するのか確かめるのは容易ではありません。論理設計の段階でまちがえることもあり、実際の製造時に配線不良になる可能性もあります。どちらの場合も、確実にスクリーニングすることはできません。たとえば、論理設計で一つのゲートの配線を間違えると、全体の動作に何らかの影響を与えるかもしれません。
素子の数が、数百万以上になると、テスターで完全に調べることもできなくなる恐れがある。これをビッグデータ問題?のようにいいます。集積回路は、信頼性がありますが、もしすこしでも設計ミスがあれば、非常に危険なのです。
ソフトについても、同様です。大きなOSになると、どこかにバグがあるかもしれない。それれを完全にスクリーニングはできないのです。こういったことは、ずいぶん前から指摘されています。
システムの巨大さに伴い、何らかの不良が出る可能性があります。

話の窓 [数学]

ちょっと前に、何十年ぶりかに大学の同じ研究室の後輩と話をしてきました。
彼は、私の3年後輩で電気メーカーに就職しました。私は修士ですが、彼は
学士です。
もう来年で退職するそうです。定年まで1年足らず残しての早期退職です。
彼は、光デバイスの検査装置を一貫して手掛けていました。中国などにも
出張して装置の設置などに携わったようです。

ソフトウエアにも関わったようで、DOSの時代のC言語や現在のC#や
デルファイなども知っていました。おなじ会社にずっといたので、色々な仕事
を経験したようでした。レーザーに関する卒研でしたが、あまり就職してから
役立ったかどうかはわからないといっていました。

私の学生時代に、話せなかったことなど色々話ができて懐かしいひととき
を過ごしました。同じ研究室だった人のその後の動向もわかりました。
みんな、けっこう曲折があるみたいで。

健康にも気をつけましょうという話も出ました。歳をとればそれなりに病を
経験しています。私も、せいぜい運動します。

情報工学について [数学]

ちょっとお話し的な内容です。

私が、学生の頃に情報工学の授業がありました。田中幸吉という方が先生でした。
授業中に、最近この学部に情報工学科ができたが、友人からは昔の軍の諜報要員
を養成するのか?、軍事国家への逆戻りか?とか疑惑を言われたとか聞きました。

情報の勉強は、コンピューター社会の時代の要請によるものでした。

また、この先生は学科の卒業生が数名銀行などへ就職するものですから、うちの
学科は銀行マンを養成していのではないと憤慨されたとか。

現実には、過去の失われた10年で日本が米国の金融商品専門家に数学的に負けた
のではないかという指摘もあるので、日本の銀行関係の技術者が力不足だったのか
もしれません。詳しいことは、わかりませんけど。

飯高先生の件 [数学]

以前に、飯高先生に質問すればなんでも教えてもらえる、と書きました。

でも、最近のHPを見ると無報酬の仕事はされていないようです。

この電話番号にかければ、時間があれば何でも無報酬での仕事に応じます。

と、書いてあった記述が消えています。

多分、体力的な点と仕事が沢山入っているせいだと思います。

先生の動向はHPの掲示板で時々、先生が投稿されているので分かります。

私が電話で、ガロア理論について質問したときは何年か前に、すらすらと

話してもらえました。でも先生にとってはたやすいことなので、あまり

くどくどと話をすることはありませんでした。時間がもったいなかったの

でしょう。メールとかで質問したときは、先生が気にいられたときは、

pdfファイルなどで返事をもらったこともあります。今はメールも多分

受け付けておられないみたいで残念です。

東京近辺にお住まいの方は、先生がいろいろ勉強会というようなものを

やられているので直に講義を受けまた質問する機会もあるでしょう。

具体的にどこでやられているのかは、先生のHPで調べるか、ネットで

検索するかでしょうか。かなり先端的なものから、初心者向けのものまで

いろいろありそうです。

先生にとっては、ガロア理論はたくさんの引き出しのひとつみたいですよ。

情報理論序章 [数学]

情報とは何かということだが、どこかにいる人間または類似のものに
何らかの行動に影響を与える元のものや存在に価値のある元のものの
総称を意味すると考えます。

情報が、何らかの影響で通報され、信号となって受け手に伝わるもの
とする。信号には符号化と変調・復調が含まれる。

情報が受け手に伝わるまでを、モデル化すれば、情報源・送信機・
通信路・受信機・受信者となります。通信路に雑音源が影響します。
雑音はどこにでもありそうですが、簡単化のため通信路にのみ働くと
します。

これは、一方方向の通信ですが、双方向の場合もありえます。が、ここ
では扱いません。

情報理論と密接な関係のある学問として、サイバネティックスという
ものがあります。これは、舵手を意味する言葉から来たもので、動物と
機械における通信と制御を意味する。また、一般に人間社会のような
システムや機械一般の系の性質を研究するものとも考えられます。

情報理論は、サイバネティックスの中で通信関係を担当する分野とも
考えられます。

センサーからの信号を処理してアクチュエータに出力するメカトロニ
クス等はサイバネティックスの範囲に入るでしょう。

情報理論は人文科学と自然科学の境界領域に発生したとも考えられます。
詳しくは書けませんが、人文科学にも関係しています。応用としては
データ通信が有名です。

前回の続き [数学]

前回出てきた、情報理論の本とは有本卓先生のものです。だいぶ前の本ですから、もう売られていないでしょう。図書館などに行かれるとあるかもしれません。現在の暗号が現れる前の本ですから内容は古いです。最近の本は見ていませんが、だいぶ変わっているでしょうね。

私が学生の頃は、ソ連が制御関係の科学が進んでいて学部の先生からロシア語を勉強するように薦められました。ドイツ語を履修するものが一番多かったですから2番目ですね、英語を除いては。ソ連からの論文を英文に翻訳されるより早く原文で読めればすごいですよ、とかよく聞かされました。現在はどうなんでしょうか?。

制御理論の授業もありましたので、件の学生はそのとりこになったみたいです。理論を勉強するのが好きだったのでしょう。彼は将来は技術者になるより学者を目指していたのかもしれませんが、修士以降の行方がわかりません。どうしているのかなぁ。彼に影響されて、学部終えて後を追った同期の学生もいました。

情報理論について [数学]

私が、学部の学生の頃に、よく本を読んでいる友人がいました。彼は、情報理論や情報工学のテキストを全部読んだと言っていました。授業で使われていたのは、情報工学の本で最初の辺を勉強しました。当時は少しは分かったのでしょうが、内容は難しかったです。著者が講師でしたから、これはベストセラーだとか聞かされましたね。ところで、その本をよく読む学生から、情報理論というのが面白いと聞かされて私もと少し読みましたが、数式を追って行っても何を意味しているのか分からなくなり途中で放り出しました。彼は本当に最後まで理解できたんだろうか。ともかく、彼は制御工学の分野に関心を持っていて、大学院の制御工学分野へ行きました。しかし、その後長らく立って彼がどこへ就職したのか分からなくなりました。消息が途絶えたのです。

ここでは、情報工学の序論を書こうと思っていたのですが、また次にします。

竹之内脩先生と難波進先生の思い出 [数学]

この項は、ガロアとは離れますが、ごかんべんを。

竹之内先生には、数学Aを教えて頂きました。たしか非線形偏微分方程式の
話だったと思いますが、さっぱりわかりませんでした。夏休みに講義のノート
を家で復習したりして、なんとか理解しようとしましたが、難解でした。
試験では、クラスの半数が不合格になり、私はかろうじて通りました。
後で分かりましたが、電気回路の分野で授業で習った方程式が出てきます。

難波先生には、物性論を教わりました。が、授業は下手でみんな寝ていました。
でも、先生はイオン注入の分野のリーダーで電気業界のことなどときおり
興味深いことを聞きました。先生は理博と工博をともにもたれており就職でも
お世話になりましたが、ご期待には応えられませんでした。

でも、両先生の学風はいまも記憶に残っております。

私は、数学の専門学科を出たわけではありませんが、学科の先生たちは
学生の将来を考えて数学から電子応用まで幅広くカリキュラムを組んで
もらいました。ありがたかったと思います。

記事について [数学]

最近の四十篇ほどの記事は、それ以前のものに比べて
アクセス数が少ないようです。それはほとんど引用で
証明がない場合が多いためだと思います。
しかし、内容的にはガロアの理論の中心に近いものです。
前半は、クロネッカーの証明をゴールとしているのに
たいして後の方は、より群論や、体論を使ったものに
なっているのです。

今後、どのような記事を書くかは、およそ代数の延長か
情報数学の分野になるか、どちらかだと思います。
情報数学には、すでに記事にした暗号の理論が含まれる
のです。情報系の読者にも役立つものにしたいです。

続標本化定理 [数学]

標本化定理の説明です。

たとえば、情報源がサイン関数みたいな変化をしているとします。

サインカーブは、一つの周期で、山と谷があります。

この山と谷をとらえればいいわけだから、一つの周期で

2回サンプリングすればよいわけです。つまり周期が半分の

周波数で測ればいいから、情報源の2倍の周波数でよいことに

なります。そうすれば源データを復元?できることになります。

これは、最低の情報保持です、

標本化定理 [数学]

情報数学の話です。

ある情報源の変化する物理量の最高周波数が、fとします。

この時、2fの周波数でサンプリングすれば、そのデータは

情報源の情報を保存できることになります。これを

標本化定理といいます。たしか、シャノンが明示したのだろう

と思います。

たとえば、人間の声は、およそ3KHzが上限であることから

6KHzで、サンプリングすればよいことになります。声をデータ

としてデジタル化するときは、約6KHzの帯域があればいいという

ことです。実際には、CD等に記録されている帯域はもっと広く

とってありますが、電話等ではもう少し低くしてあるようです。

ガロアの考えたこと [数学]

ガロアは、方程式の解について調べるときに群というものを考えました。

群の性質を考察することにより、ガロア拡大や正規部分群というものを

見つけて群論の理論を構築しました。その応用として、五次以上の代数

方程式に解の公式がないことを証明したのです。群論に関する本は現在

沢山あると思いますから、それらを熟読することが大切だと思います。

練習問題も少しだけでもやられると、群についてわかりやすくなるような

気がします。

ガロア理論の制限 [数学]

前回の五次以上の代数方程式は、解の公式がない。

ただし、素数次の場合についてのみ言える、というの

は、剰余群が素数次のときのみ巡回群になるという

ことから発生しています。色々な議論がこのことから

出発しているためです。このことは、前の記事に

出ています。もし時間があれば、探してみてください。

なので、素数次以外の場合は係数により、解けるかど

うか、その都度検討しなければ、解は分からない。

と、いうことです。

ガロアの理論の注意点 [数学]

5次以上の、一般代数方程式の解の公式はない。

このことは注意がいります。

条件として、素数次で既約な方程式についてのみ

いえるのです。では、素数次でなければ、どうなのかというと

解けるかどうか、分からないのです。

既約であれば、重解がないことが分かっています。

重解があると議論が難しくなります。素数次については、なぜ

この制限があるか、今、明確にできません。

また、記述します。

参考図書 [数学]

ガロア理論も含めて、もっと広く数学の勉強が

したければ、岩波講座「現代数学への入門」という

シリーズがあります。これはすこし前にでたもので

今では売っていないでしょうが、大学等の図書館へ

いけば読めるかもしれません。全10巻です。

私は、古本屋で買いました。

ガロア理論については、第7巻代数入門2に載っています。

でも、この本より最近の本の方が

分かりやすいかもしれませんね。

五次以上の代数方程式に解の公式がない [数学]

前項で、ガロア群が対称群と同型である

ことがわかりました。よって対称群を調べれば

解が有理数体からのベキ根で表せるかどうかが

分かります。対称群の正規部分群を調べて

行けばよいわけです。5次以上の場合は、対称群

の正規列は存在しないため、解の公式は一般に

ないというわけです。正規列の定義は前に出てきた

記事を参考にしてください。

ガロア理論は、一種のシステム的な理論なので、

段階を追っていかないとわからないのですね。

方程式のガロア群は対称群である [数学]

この項は前にも出てきました。重要な項目です。

なぜ、方程式が解けるかどうかが、Snを調べれば

わかるかが決まるからです。

方程式f(x)=0のガロア群をGfとします。

この群の元φについて考えます。解はα1、α2、・・・αn

とします。ここで

  f(x)=a0+a1・x+a2・x^2+・・+an・x^n

自己同型群の定義より、φ(0)=0です。

よって、

  0=φ(f(αj))=a0+a1・φ(αj)+・・・+an・φ(αj)^n

となり、φ(αj)も解になります。

つまり、φは根の置換を引き起こしています。

もっと厳密に議論すべきですが、簡単にします。

よって、ガロア群は、対称群と同型となります。

集合として、解の集まりはガロア群の元φの変換するφ(α)の集合

と等しくなります。

これを、ガロアは置換群としてとらえたわけですね。

ガロア拡大について補足 [数学]

以前に中間体が出てきました。中間体Mの拡大L/Mに対して、

Lを最小分解体とするようなM上の方程式があり、

LはMのガロア拡大となり、ガロア群G(L/M)がありました。

ここで、問題になるのはMがQのガロア拡大体になっているか

どうかです。

その条件が、Mとガロア対応している部分群HがGの正規部分群

であることなのです。

このへんも難しいです。

固定体と固定群 [数学]

あまり、聞きなれない名前が出てきました。

方程式の最小分解体をL、ガロア群をGとします。Gの

部分群Hによって不変なLの元の集合Mは体になります。

これをHの固定体といいます。

また、Lの中間体Mのすべての元を不変にするGの元の

集合Hは群になります。これをGにおけるMの固定群と

いいます。

これらは、中間体の性質を調べたものです。

ガロア対応と呼ばれるものですが、ちょっと分かりにくいですね。

中間体について補足 [数学]

この項目は重要です。

Q上の方程式f(x)=0の最小分解体をL、そのガロア群をGと

します。中間体Mと部分群Hがガロア対応しているとします。

HはGの部分群です。

ここでMがQのガロア拡大であることは、HがGの正規部分群であることと

同値である。天下り的ですがご勘弁を。

また、このとき、Gal(M/Q)とG/Hは同型である。

この辺は難しいですね。

中間体について [数学]

前回に、中間体が出てきました。

その説明をします。

n次方程式の解を、α1、α2、・・・、αnとします。

このとき、最小分解体は、L=Q(α1、α2、・・・αn)です。

最小分解体とガロア拡大体は同値です。よってL=Q(αi)となります。

ここで Q⊂Q(β)⊂Q(αi)=Lのような

Lより小さいQの拡大体があるとき、これを中間体といいます。

ここでは以上です。

方程式のガロア群が可解群ならベキ根拡大で解が表せる [数学]

n次方程式f(x)=0のガロア群が可解群とします。

有理数体Qに1の原始n乗根ζを加えた体Q(ζ)は、ベキ根で表せます。

Q(ζ)から順次ガロア拡大する中間体もベキ根で表せます。

中間体Fi=Fi-1(ni√ai、ζ)となるからです。

最終的に、f(x)=0の最小分解体FもQの累ベキ根拡大体となる

ため、解は代数的に解けます。

証明をかなり略しているため、難解ですね。

ここで、中間体の説明は記事にしていません。

最少分解体のガロア拡大列の部分体だと思ってください。

ベキ根拡大と巡回拡大 [数学]

ちょっと分かりにくいですが、結果だけ書きます。

ζを1の原始n乗根とします。体Kに、ζが含まれているとします。

ここで、aが1でなく、Kの元である時に、K上の方程式

  x^n-a=0 の解の一つをn√aとします。この解はKの元

ではないとします。このとき、Kの拡大体K(n√a)のガロア群は巡回群となり

ます。この拡大は巡回拡大となります。

この証明は、機会があれば書きます。

1のn乗根について [数学]

また、戻ります。

1のn乗根はベキ根を用いて表すことが言えます。

nは自然数とする。

ここで、ベキ根でというのは、つぎの様な表し方です。

たとえば、1の5乗根のひとつζは、

ζ=(-1+√5)/4 + i(√(10+2√5))/4

のようになります。

ここでは、実数ベキ根で表されましたが、一般的なnの時には

複素数のベキ根で表されると考えてください。


クンマー拡大 [数学]

前に、円分体について書きました。

x^nーa=0(a≠1)の解のひとつのn√aを、Qを含む

体Kに加えてできる拡大K(n√a)/Kをクンマー拡大と

いいます。

このへんは、ガロアの死後に研究されたことなんでしょうね。


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